Как привести матрицу к треугольному (ступенчатому) виду (метод Гаусса)?

Данная статья является первой частью серии статей под названием "Решение матриц". Каждая часть сопровождается теорией, примерами и подробным описанием.

Если Вам нужно привести матрицу к треугольному (ступенчатому) виду, воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором.

Содержание:

• Введение
• Описание алгоритма
• Примеры решения матриц
• Заключение

Введение

Эту задачу приходится решать очень часто, так как она используется во многих операциях над матрицами (решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), вычисление определителя матрицы).

Что бы привести матрицу к треугольному виду, нужно воспользоваться методом Гаусса, который является простым в использовании и позволяет быстро прийти к конечному результату. Метод заключается в том чтобы исходную матрицу, путём элементарных преобразований привести к треугольному (ступенчатому) виду.

Описание алгоритма

Для приведения матрицы к треугольному виду, необходимо обнулить все элементы стоящие ниже главной диагонали.

Пусть дана матрица

.

Первым действием обнуляем первые элементы 2,3,...,n строки, для этого вычтем из этих строк первую строку умноженную на соответственно,

получим ,

где .

Теперь вычтем из 3,4...,n строки вторую строку умноженную на , этим действием обнуляем вторые элементы этих строк, соответственно, получаем

,

где b_ij элементы получившиеся в результате этих преобразований. И так далее, пока не получим вид ,

где b_ij это элементы получившиеся в результате элементарных преобразований, это и есть матрица треугольного вида.

Пример приведения матрицы к треугольному виду

Заключение

Если Вам не понятен какой-либо шаг или у Вас есть вопросы по приведению матрицы к треугольному (ступенчатому) виду, вы всегда можете оставить свой комментарий ниже или решить её воспользовавшись нашим онлайн калькулятором.

Свои вопросы по данной статье, Вы всегда можете задать в комментариях.